Fragmente Jurnal XCVII –
Demonstrația teoremei lui Cristian Vasiliu
Enunț: Într-un triunghi echilateral, suma algebrică a distanţelor de la centrul cercului circumscris la proiecţiile vârfurilor triunghiului pe orice dreaptă ce trece prin centrul cercului circumscris este zero.
Demonstrație:
Fie o dreapta oarecare
ce trece prin O - centru cercului circumscris ∆ echilateral ABC.
Proiecțiile punctelor A,
B si C (vârfurile ∆ABC) sunt punctele AI, BI si CI.
Vom demonstra ca: [OAI]
+ [OCI] = [OBI]
I.
Fie m(‹BOBI)=
α (1.)
m(‹COCI) = m(‹CIOBI)
– m(‹BOBI) – m(‹BOC) =>
=> m(‹COCI)
= 180o – α – 120o =>
=> m(‹COCI)
= 60o – α (2.)
m(‹AOAI) = m(‹AOC)
– m(‹COCI) =>
=> m(‹AOAI)
= 120o – (60o – α) =>
=> m(‹AOAI)
= 60o + α (3.)
II.
Notam cu:
[BO] = [AO] = [CO] = r (4.)
x = [OBI]/[OB]
=> x = [OBI]/r (5.)
y = [OCI]/[OC]
=> y = [OCI]/r (6.)
z = [OAI]/[OA]
=> z = [OAI]/r (7.)
(1.) + (5.) => cos(‹BOBI)
= cos(α) = [OBI]/[OB] => x = cos α (8.)
(2.) + (6.) => cos(‹COCI)
= cos(60o - α) = [OCI]/[OC] => y = cos(60o
- α) (9.)
(3.) + (7.) => cos(‹AOAI)
= cos(60o + α) = [OAI]/[OA] => z = cos(60o
+ α) (10.)
Formule generale:
cos(a – b) = cos a x cos
b + sin a x sin b (11.)
cos(a + b) = cos a x cos
b – sin a x sin b (12.)
din (9.) + (11.) => y
= cos60o x cos α + sin60o x sin α =>
=> y = (1/2) x cos α +
sin60o x sin α (13.)
din (10.) + (12.) =>
z = cos60o x cos α – sin60o x sin α =>
=> z =
(1/2) x cos α – sin60o x sin α (14.)
(13.) + (14.) => y +
z = cos α =>
=> x = y + z (15.)
(15.) + (5.) + (6.) +
(7.) => [OAI] + [OCI] = [OBI]
q.e.d.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu