Demonstraţia teoremei lui Cristian Vasiliu

Fragmente Jurnal XCVII – Demonstrația teoremei lui Cristian Vasiliu

Enunț: Într-un triunghi echilateral, suma algebrică a distanţelor de la centrul cercului circumscris la proiecţiile vârfurilor triunghiului pe orice dreaptă ce trece prin centrul cercului circumscris este zero.

Demonstrație:

Fie o dreapta oarecare ce trece prin O - centru cercului circumscris ∆ echilateral ABC.

Proiecțiile punctelor A, B si C (vârfurile ∆ABC) sunt punctele A^I, B^I si C^I.

Vom demonstra ca: [OA^I] + [OC^I] = [OB^I]

I.

Fie m(‹BOB^I)= α (1.)

m(‹COC^I) = m(‹C^IOB^I) – m(‹BOB^I) – m(‹BOC) =>

=> m(‹COC^I) = 180^o – α – 120^o =>

=> m(‹COC^I) = 60^o – α (2.)

m(‹AOA^I) = m(‹AOC) – m(‹COC^I) =>

=> m(‹AOA^I) = 120^o – (60^o – α) =>

=> m(‹AOA^I) = 60^o + α (3.)

II.

Notam cu:

 [BO] = [AO] = [CO] = r (4.)

x = [OB^I]/[OB] => x = [OB^I]/r (5.)

y = [OC^I]/[OC] => y = [OC^I]/r (6.)

z = [OA^I]/[OA] => z = [OA^I]/r (7.)

(1.) + (5.) => cos(‹BOB^I) = cos(α) = [OB^I]/[OB] => x = cos α (8.)

(2.) + (6.) => cos(‹COC^I) = cos(60^o - α) = [OC^I]/[OC] => y = cos(60^o - α) (9.)

(3.) + (7.) => cos(‹AOA^I) = cos(60^o + α) = [OA^I]/[OA] => z = cos(60^o + α) (10.)

Formule generale:

cos(a – b) = cos a x cos b + sin a x sin b (11.)

cos(a + b) = cos a x cos b – sin a x sin b (12.)

din (9.) + (11.) => y = cos60^o x cos α + sin60^o x sin α =>

=> y = (1/2) x cos α +  sin60^o x sin α (13.)

din (10.) + (12.) => z = cos60^o x cos α – sin60^o x sin α =>

=> z =  (1/2) x cos α –  sin60^o x sin α (14.)

(13.) + (14.) => y + z = cos α =>

=> x = y + z (15.)

(15.) + (5.) + (6.) + (7.) => [OA^I] + [OC^I] = [OB^I]

                                             q.e.d.