miercuri, 28 septembrie 2016

Demonstraţia teoremei lui Cristian Vasiliu

Fragmente Jurnal XCVII – Demonstrația teoremei lui Cristian Vasiliu

Enunț: Într-un triunghi echilateral, suma algebrică a distanţelor de la centrul cercului circumscris la proiecţiile vârfurilor triunghiului pe orice dreaptă ce trece prin centrul cercului circumscris este zero.


Demonstrație:





Fie o dreapta oarecare ce trece prin O - centru cercului circumscris ∆ echilateral ABC.

Proiecțiile punctelor A, B si C (vârfurile ∆ABC) sunt punctele AI, BI si CI.

Vom demonstra ca: [OAI] + [OCI] = [OBI]

I.

Fie m(‹BOBI)= α (1.)


m(‹COCI) = m(‹CIOBI) – m(‹BOBI) – m(‹BOC) =>
=> m(‹COCI) = 180o – α – 120o =>
=> m(‹COCI) = 60o – α (2.)

m(‹AOAI) = m(‹AOC) – m(‹COCI) =>
=> m(‹AOAI) = 120o – (60o – α) =>
=> m(‹AOAI) = 60o + α (3.)

II.

Notam cu:
 [BO] = [AO] = [CO] = r (4.)
x = [OBI]/[OB] => x = [OBI]/r (5.)
y = [OCI]/[OC] => y = [OCI]/r (6.)
z = [OAI]/[OA] => z = [OAI]/r (7.)

(1.) + (5.) => cos(‹BOBI) = cos(α) = [OBI]/[OB] => x = cos α (8.)

(2.) + (6.) => cos(‹COCI) = cos(60o - α) = [OCI]/[OC] => y = cos(60o - α) (9.)

(3.) + (7.) => cos(‹AOAI) = cos(60o + α) = [OAI]/[OA] => z = cos(60o + α) (10.)


Formule generale:

cos(a – b) = cos a x cos b + sin a x sin b (11.)
cos(a + b) = cos a x cos b – sin a x sin b (12.)

din (9.) + (11.) => y = cos60o x cos α + sin60o x sin α =>
=> y = (1/2) x cos α +  sin60x sin α (13.)

din (10.) + (12.) => z = cos60o x cos α – sin60o x sin α =>
=> z =  (1/2) x cos α –  sin60o x sin α (14.)

(13.) + (14.) => y + z = cos α =>
=> x = y + z (15.)

(15.) + (5.) + (6.) + (7.) => [OAI] + [OCI] = [OBI]
                                             q.e.d.








Niciun comentariu: